Ondes de gravité internes

Si l'on néglige les effets visqueux et celui de la particule fluide sur le reste du milieu, on peut obtenir facilement l'équation d'un oscillateur harmonique simple pour modéliser le mouvement de la particule. La fréquence de cet oscillateur (dite fréquence de Brunt-Väisälä) est donnée par

et elle est une mesure du gradient de densité locale.  Une généralisation de l'argument précédent nous permet d'analyser une autre situation d'intérêt, à laquelle on pense naturellement dans le cadre d'un système oscillant, qui est atteint lorsque l'on applique un forçage extérieur (e.g. le cas d'un corps qui bat à une fréquence donnée en forçant les particules fluides autour de lui à osciller avec la même fréquence). Ce que l'on observe c'est le rayonnement des ondes de gravité internes, ce sont des ondes existant seulement dans les milieux stratifiés et avec des caractéristiques particulières -voir e.g. Lighthill (1978), Tritton (1988), Kundu (1990). Parmi ces propriétés, on remarque spécialement que la direction de propagation de ces ondes dépend de la fréquence du forçage et aussi de la fréquence de Brunt-Väisälä locale. Autre propriété intéressante est que la vitesse de phase et la vitesse de groupe des ondes internes sont perpendiculaires (voir figure 2).  La vitesse de phase est la vitesse de propagation des fronts d'onde, et elle est perpendiculaire à ces fronts. La vitesse de groupe est la vitesse avec laquelle l'énergie des ondes est transmise.

En écrivant les équations du mouvement pour un fluide stratifié dans l'approximation de Boussinesq (voir e.g. Lighthill, 1978), on peut trouver la relation de dispersion pour les ondes internes:

où  est la fréquence du forçage et est l'angle des fronts d'onde par rapport à la verticale.

TREX: Ondes internes dans un fluide stratifié.

• Objectif:
  Observer les ondes internes qui existent dans les milieux stratifiés et illustrer ses propriétés les plus importantes.
 
• Montage:

On fera les expériences dans une cuve en verre de 40 x 30 x 8 cm remplie d'eau salée stratifiée. Un cylindre de 2 cm de diamètre est placé au milieu de la cuve avec son axe aligné avec le coté de 8cm et il est mis en oscillation par un haut-parleur (voir figure ci-dessous).



• Visualisation:

Les ondes générées par le cylindre oscillant sont visualisées par la méthode d'ombroscopie (shadowgraph). On enregistre des images dans un Macintosh avec une camera et utilise le logiciel NIH Image pour le traitement.

Activités:

I. Ondes
 
1. Préparer la cuve stratifiée.
2. Allumer le générateur de fonctions avec un signal sinusoïdal de 0.2 Hz environ pour faire osciller le haut parleur.
3. Observer les ondes. Ajuster l'écran de visualisation et le projecteur pour optimiser l'image.
4. Faire varier la fréquence d'oscillation et observer le changement de l'angle de propagation. A partir de quelle fréquence on n'observe plus d'ondes?


II. Fréquence de Brunt-Väisälä et réflexions

On va se servir de la relation de dispersion pour les ondes internes pour calculer la fréquence de Brunt-Väisälä de notre cuve stratifiée à partir des observations expérimentales.
 

1. Mesurer l'angle de propagation des ondes pour plusieurs fréquences du forçage.
2. Tracer les points expérimentales dans un repère fréquence du forçage-cos(angle) et ajuster une ligne droite pour obtenir la valeur de N.
3. Vérifier le résultat avec la valeur calculé en utilisant la formule de N.
1. Observer la réflexion des ondes sur un obstacle. Pour cela on introduit une barre inclinée dans la cuve.
2. Varier l'inclinaison de la barre pour vérifier que la direction de propagation des ondes réfléchies est conservée.


III. Réponse à une impulsion verticale.
 

1. Observer le patron d'ondes émis par une impulsion verticale du cylindre.


IV. Vitesse de phase et vitesse de groupe

Pour observer la différence entre vitesse de phase et vitesse de groupe on va générer des ondes avec un groupe de 4 cylindres placés dans un coin de la cuve. On les fait osciller horizontalement.
 

1. Observer que la propagation de l'énergie se fait dans la direction de la vitesse de groupe.
2. Noter que la vitesse de phase est perpendiculaire à la vitesse de groupe.


V. Sillage vertical d'un cylindre

Pour observer l'écoulement d'un fluide stratifié après un obstacle on traînera un cylindre verticalement.
 

Projet: Étude des ondes dans les écoulements stratifiés.

• Sillage d'une montagne tridimensionnelle (lee waves).
• Focalisation des ondes (e.g. ondes émises par un anneau oscillant)
• Déferlement des ondes de gravité internes.
• Expériences de double-diffusion.

Bibliographie.

• Tritton, D.J. (1988). Physical Fluid Dynamics. 2nd Ed. Oxford University Press.
• Mowbray,D.E. and B.S.H.Rarity (1967). A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in a density stratified liquid. J.Fluid Mech., 28, 1-16.
• Lighthill, J. (1978). Waves in Fluids. Cambridge University Press.