Figure 1. Montage du tube basculant.
Dans le cadre du TP on va travailler avec une expérience qui nous permette d'observer l'IKH. On utilisera un montage constitué d'un tube cylindrique en verre de 2m de longueur par 6cm de diamètre, fixé en son milieu sur un axe de rotation (voir figure 1).
Figure 1. Montage du tube basculant.
Ce tube est rempli en quantités égales de deux fluides non miscibles de densités différentes. Initialement horizontal, le tube est brusquement incliné d'un certain angle et ce basculement met les fluides en mouvement (voir figure 2).
Figure 2. Principe de l'expérience.
Il apparaît donc un cisaillement au niveau de l'interface entre les deux fluides, lequel provoque les IKH (voir figure 3).
Figure 3. IKH dans l'expérience de laboratoire.
La couche de cisaillement idéalisée est un plan appelé nappe de
vorticité. Il s'agit en effet d'un plan sur lequel s'alignent des tourbillons:
Supposons
qu'une perturbation déplace l'interface:
Quel est l'effet induit sur
les tourbillons B et C par leurs plus proches voisins? Cette configuration
est-elle stable?
On peut analyser le problème autrement à l'aide du théorème de Bernoulli.
En considérant que le débit est constant dans les deux fluides, exprimer le
théorème de Bernoulli de chaque coté de l'interface, à l'équilibre, puis une
fois l'interface perturbée. Que devient l'équilibre des pressions? En déduire
l'existence d'une instabilité et répondre qualitativement quels sont les
changements apportés par la gravité et par la tension de surface?
Comme on montre dans la figure 2, une caméra fixée sur un bras lié à l'ensemble mobile permet de filmer l'évolution des fluides au milieu du tube. On enregistre des images de l'expérience dans un Macintosh et on utilise le logiciel NIH Image pour le traitement. Pour différents angles d'inclinaison du tube, mesurer:
I. Le temps de montée du tube.
II. Le temps d'apparition d'ondes à l'interface. Celui-ci est caractéristique de l'IKH.
III. Mesurer la longueur d'onde lambdac observée lors de la déstabilisation.
Faire au moins 10 mesures et en estimer les incertitudes.
Il s'agit d'évaluer la vitesse des fluides au cours du temps sous l'action de la pesanteur lors de l'inclinaison du tube.
I. Montrer que U2(t)=-U1(t)=U(t)
II. Distinguer 3 phases:
III. A partir des équations d'Euler pour chaque fluide et en utilisant
le fait que, avant le déclenchement de l'instabilité, l'interface entre les
deux fluides est plan, écrire une équation pour U(t). Montrer que pour
0<t<t1 et omega assez petit:
U(t)=(rho1-rho2)/(rho1+rho2)*g/omega*(1-cos(omega*t))
IV. Evaluer U(t) pour t1<t<t2 et
calculer U(t2) pour chaque expérience. (rho1=0,85
g.cm-3 ; rho2=0,78 g.cm-3)
V. Tracer un graphique de U(t2) vs. k (le nombre d'onde
expérimental calculé à partir de la longueur d'onde lambdac)